1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… Bu sayı dizisindeki kuralı fark edebildiniz mi? Her sayı, kendinden önceki iki sayının toplamıdır. Matematikte Fibonacci dizisi adıyla bilinen bu dizi, bir tavşan problemiyle başlayıp ayçiçeklerine, deniz kabuklarına ve sanata kadar uzanan şaşırtıcı bir hikâyeye sahiptir.
Dizinin Kuralı
Dizi 1 ve 1 ile başlar. Sonraki her terimi bulmak için son iki terimi toplarız:
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Bu kurala örüntü denir. Ortaokulda öğrendiğimiz sayı örüntülerinin en ünlü örneklerinden biridir.
Tavşan Problemi
Dizi adını, 1202 yılında yazdığı Liber Abaci (Hesap Kitabı) adlı eserle Avrupa’ya Hint-Arap rakamlarını tanıtan İtalyan matematikçi Pisalı Leonardo’dan, yani bilinen adıyla Fibonacci’den alır. Kitaptaki ünlü problem şöyledir: Bir çift yavru tavşan bir ay sonra yetişkin olur ve her ay yeni bir çift yavru doğurur. Hiçbir tavşan ölmezse her ayın sonunda kaç çift tavşan olur? Ay ay sayıldığında cevap: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
Altın Orana Yolculuk
Dizideki ardışık iki terimi birbirine böldüğümüzde ilginç bir şey olur. Görseldeki tabloya bakın: 2 ÷ 1 = 2, 3 ÷ 2 = 1,5, 5 ÷ 3 ≈ 1,667, 8 ÷ 5 = 1,6… Sayılar büyüdükçe bölüm 1,618… sayısına giderek yaklaşır. Bu sayıya altın oran denir ve Yunan harfi φ (fi) ile gösterilir.
Görseldeki karelerin kenar uzunlukları Fibonacci sayılarıdır. Kareler yan yana dizildiğinde oluşan dikdörtgenler, kenarları altın orana yaklaşan “altın dikdörtgenler”dir. Karelerin içinden geçen çeyrek çember yaylarını birleştirdiğimizde ise turuncu renkli altın sarmal ortaya çıkar.
Doğada Fibonacci
- Ayçiçeğinin ortasındaki tohumlar iki yönde sarmallar oluşturur; bu sarmalların sayısı çoğunlukla ardışık iki Fibonacci sayısıdır (örneğin 34 ve 55).
- Kozalak ve ananas pullarındaki sarmal sıralar da genellikle Fibonacci sayılarıyla ilişkilidir.
- Birçok çiçeğin taç yaprağı sayısı 3, 5 ya da 8’dir.
Elbette doğadaki her şey Fibonacci sayılarına uymaz; ancak bu örüntünün bu kadar sık karşımıza çıkması, bitkilerin büyürken yer ve ışığı en verimli şekilde kullanmasıyla açıklanır.
Sıra Sende!
Soru 1: Dizinin 10. terimi kaçtır? (Cevabı görmek için tıkla)
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Dizinin 10. terimi 55’tir.
Soru 2: İlk 6 Fibonacci sayısının toplamı kaçtır? (Cevabı görmek için tıkla)
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20. İlginç bir bilgi: Bu toplam, 8. terimden (21) her zaman 1 eksiktir!
Örüntüler konusunu tekrar etmek için 5. Sınıf İşlemlerle Cebirsel Düşünme sayfamıza göz atabilirsiniz.