Günlük hayatta borç-alacak, kâr-zarar, deniz seviyesinin altı/üstü gibi durumları ifade etmek için doğal sayılar yetersiz kalır. Bu yüzden tam sayılar kullanılır: {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Tam sayılara yönlü sayılar da denir.

Önünde “+” olan sayılar pozitif tam sayıdır.
Önünde “−” olan sayılar negatif tam sayıdır.
Sıfır hariç, önünde işaret olmayan sayılar pozitiftir.
Sıfır ne pozitif ne negatiftir.

Örnek: −10, −4, 0, 6, 15 sayılarını küçükten büyüğe sıralayalım:
−10 < −4 < 0 < 6 < 15

⭐ Sıfıra referans noktası denir; sayı doğrusunda sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar negatiftir. Sıfırdan uzaklaştıkça negatif sayılar küçülür (örneğin −20, −5’ten küçüktür).

Mutlak Değer

Bir tam sayının referans noktasına (sıfıra) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir; bir A sayısının mutlak değeri |A| şeklinde gösterilir. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değer asla negatif değildir. 0’ın mutlak değeri 0’dır.

Örnek: −9 sayısının 0’a uzaklığı 9 birimdir, bu yüzden |−9| = 9.
|−9| = |9| = 9
|−12| − |5| = 12 − 5 = 7

⭐ Mutlak değerleri eşit olan iki sayı sıfıra eşit uzaklıktadır ama işaretleri zıttır: |−10| = |10| = 10.

Rasyonel Sayılar ve Farklı Temsilleri

İki tam sayının oranı olarak yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir: a tam sayı, b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere a/b şeklinde. Her tam sayı aynı zamanda rasyoneldir çünkü a = a/1 şeklinde yazılabilir.

Bir rasyonel sayının pay ve paydası aynı işaretliyse sayı pozitiftir; işaretler farklıysa sayı negatiftir.

Örnek: 25 sayısının farklı temsilleri: Kesir: 25 Ondalık: 0,4 Yüzde: %40

184 = 4,5

⭐ Devirli ondalık gösterimi kesre çevirme: Virgülü göz ardı edip tüm sayıdan devretmeyen kısmı çıkarın, sonucu paya yazın. Paydaya devreden her rakam için bir 9, devretmeyen her rakam için bir 0 yazılır.

Örnek: 3,4̄5̄ = 345 − 3990 = 342990

0,6̄ = 69

Tam Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi

Toplama: Aynı işaretli sayılarda mutlak değerler toplanır, ortak işaret sonuca yazılır. Zıt işaretlilerde büyük mutlak değerden küçüğü çıkarılır, büyüğün işareti sonuca yazılır.

Çıkarma: A − B = C işleminde çıkanın işareti değiştirilip çıkarma toplamaya dönüştürülür, sonra toplama yapılır.

Sayma pulları modeli: (+) pul +1’i, (−) pul −1’i temsil eder; bir (+) ile bir (−) pul birleşince birbirini götürür.

Örnek: (−14) + (+6) = −8
(+9) − (+15) = (+9) + (−15) = −6
(−8) − (−20) = (−8) + (+20) = 12

⭐ Sayı doğrusu modeli: 0’dan başlayarak, toplanan sayı pozitifse sağa, negatifse sola doğru ok çizilir; her yeni ok bir öncekinin bittiği yerden başlar.

Toplama İşleminin Özellikleri (Tam Sayılar)

Özellik	Açıklama
Değişme	a + b = b + a
Birleşme	3+ sayı toplanırken hangi ikisinin önce toplandığı sonucu etkilemez
Etkisiz Eleman	a + 0 = a
Ters Eleman	a + (−a) = 0

Örnek: 7 + (−3) = (−3) + 7 = 4 (değişme)
11 + (−11) = 0 olduğundan 11’in toplama işlemine göre tersi −11‘dir.

⭐ Bu dört özellik ileride cebirsel ifadelerde denklem çözerken sıkça kullanılacağı için isimleriyle akılda tutulmalıdır.

Tam Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi

Çarpma ve bölmede sayıların mutlak değerleri işleme tabi tutulur; aynı işaretli iki sayının sonucu pozitif, zıt işaretli iki sayının sonucu negatiftir.

Örnek: (−7) × (−5) = 35 (+6) × (−8) = −48
(−36) ÷ (+4) = −9 (−45) ÷ (−9) = 5

⭐ Bir sayı −1 ile çarpılır veya −1’e bölünürse sonuç o sayının ters işaretlisi olur: (−1) × 27 = −27.

Çarpma İşleminin Özellikleri (Tam Sayılar)

Özellik	Açıklama
Değişme	a × b = b × a
Birleşme	Hangi ikisinin önce çarpıldığı sonucu etkilemez
Etkisiz Eleman	a × 1 = a
Yutan Eleman	a × 0 = 0

Örnek: (−8) × 1 = −8 (etkisiz eleman)
124 × 0 = 0 (yutan eleman)

⭐ Toplamada “etkisiz eleman 0”, çarpmada “etkisiz eleman 1″dir — bu ikisini karıştırmayın.

Rasyonel Sayılarla Toplama-Çıkarma İşlemi

Paydalar eşitse paylar toplanır/çıkarılır, ortak payda aynen yazılır. Paydalar farklıysa önce paydalar eşitlenir.

Örnek: −58 + 38 = −28

29 − −16 = 418 + 318 = 718

⭐ Paydaları eşitlerken en küçük ortak kat (EKOK) kullanmak işlemi kolaylaştırır.

Rasyonel Sayılarda Toplama İşleminin Özellikleri

Rasyonel sayılarda da toplama işleminin değişme ve birleşme özellikleri geçerlidir. Toplamanın etkisiz elemanı 0‘dır. Bir a/b sayısının toplama işlemine göre tersi −a/b’dir.

Örnek: 47 + −47 = 0 olduğundan, 47 ‘nin tersi −47 ‘dir.

⭐ “Toplama işlemine göre ters” ile “çarpma işlemine göre ters” farklı kavramlardır — birincisinde işaret değişir, ikincisinde pay-payda yer değiştirir.

Rasyonel Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemi

Çarpmada paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Bölmede ikinci kesir ters çevrilip çarpma işlemine dönüştürülür.

Örnek: −37 × 52 = −1514

49 ÷ 23 = 49 × 32 = 1218

⭐ Çarpma işleminin özellikleri: Değişme ve birleşme geçerlidir. Etkisiz eleman 1‘dir. Bir a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi b/a’dır; örneğin 53 ‘ün tersi 35 ‘tir.

Çok Adımlı İşlemler

İç içe birden fazla parantez varsa en içteki parantezden başlanır. İşlem önceliği sırasıyla: 1) Parantez içi, 2) Üslü ifadeler, 3) Çarpma-bölme (soldan sağa), 4) Toplama-çıkarma (soldan sağa).

Örnek: 34 × [ 16 + ( 53 − 12 )] işlemini yapalım:

53 − 12 = 106 − 36 = 76

16 + 76 = 86

34 × 86 = 2424 = 1

⭐ Bilinmeyeni bulma tekniği: İç içe kesirli bir denklemde en dıştaki işlemden başlayarak “hangi sayıyı … yaparsak … olur?” sorusunu sırayla sorup içe doğru ilerlenir.

Örnek: 2 + 64 − 2/x = 5 denkleminde x’i bulalım:
“Hangi sayıyı 2 ile toplarsak 5 olur?” → 64 − 2/x = 3
“Hangi sayıyı 6’ya bölersek 3 olur?” → 4 − 2x = 2
“4’ten hangi sayıyı çıkarırsak 2 kalır?” → 2x = 2
“2’yi hangi sayıya bölersek 2 olur?” → x = 1

✍️