Bir ders kitabı düşünün: MÖ 300 dolaylarında yazılmış, yüzyıllar boyunca pek çok dile çevrilmiş ve 20. yüzyıla kadar okullarda okutulmuş. Bu kitap Öklid’in Elemanlar‘ıdır. Bugün geometri dersinde gördüğünüz nokta, doğru, açı, üçgen ve paralellik bilgilerinin düzeni büyük ölçüde bu kitaptan gelir.
İskenderiye’deki Öğretmen
Öklid’in hayatı hakkında çok az şey biliyoruz. MÖ 300 dolaylarında Mısır’ın İskenderiye şehrinde yaşadığı ve ders verdiği kabul edilir. İskenderiye o dönemde ünlü kütüphanesiyle dünyanın bilim merkeziydi.
Onunla ilgili en bilinen hikâye şöyledir: Kral Ptolemaios geometriyi öğrenmenin daha kısa bir yolu olup olmadığını sorar. Öklid’in cevabı, geometriye giden bir kral yolu olmadığı yönündedir. Hikâyenin gerçekliği kesin değildir; ama mesajı açıktır: Matematikte kestirme yoktur, herkes aynı adımları atar.
Elemanlar’ı Özel Yapan Ne?
Öklid, kitabındaki bilgilerin çoğunu kendisi bulmadı; kendinden önceki matematikçilerin sonuçlarını derledi. Onu ölümsüz kılan, bu bilgileri sunma biçimidir. Kitap 13 bölümden oluşur ve şu sırayı izler:
- Tanımlar: Nokta, doğru, açı gibi kavramların ne olduğu.
- Postulatlar: İspatsız kabul edilen beş temel kural. Örneğin: İki noktadan bir doğru geçer.
- Önermeler: Yalnızca tanımlar, postulatlar ve daha önce ispatlanmış önermeler kullanılarak adım adım kanıtlanan sonuçlar.
Yani kitapta hiçbir şey “öyle olduğu için” doğru değildir; her sonuç bir öncekine dayanır. Bugün matematikte ispat dediğimiz düşünme biçiminin en eski ve en etkili örneği budur. Kitabın ilk önermesi, cetvel ve pergelle eşkenar üçgen çizimidir.
Sadece Geometri Değil
Elemanlar’da sayılarla ilgili bölümler de vardır. Bunlardan ikisi bugün ortaokulda karşımıza çıkar:
- Asal sayılar sonsuzdur. Öklid, elinizde ne kadar asal sayı olursa olsun bunlardan farklı yeni bir asal bulunabileceğini kanıtladı.
- Öklid algoritması. İki sayının EBOB’unu asal çarpanlara ayırmadan bulmanın hızlı yolu.
Öklid Algoritması ile EBOB
Yöntem basittir: Büyük sayıyı küçüğe böl; sonra böleni kalana böl; kalan 0 olana kadar devam et. Sıfırdan önceki son kalan EBOB’dur. EBOB(48, 18) için:
- 48 = 2 × 18 + 12
- 18 = 1 × 12 + 6
- 12 = 2 × 6 + 0
Son sıfırdan farklı kalan 6’dır; EBOB(48, 18) = 6. Bu yöntem 2300 yıl sonra bugün bilgisayarlarda, örneğin şifreleme sistemlerinde hâlâ kullanılıyor.
Beşinci Postulat ve Yeni Geometriler
Öklid’in beşinci postulatı paralel doğrularla ilgilidir ve diğerlerinden daha karmaşıktır. Matematikçiler yüzyıllarca onu diğer dört postulattan türetmeye çalıştı; başaramadılar. 19. yüzyılda Lobaçevski, Bolyai ve Riemann, bu postulat değiştirildiğinde tutarlı ve farklı geometriler elde edildiğini gösterdi. Küre yüzeyi buna iyi bir örnektir: Kürede çizilen bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür.
Derste Nerede Karşına Çıkar?
5. sınıfta öğrendiğin nokta, doğru, doğru parçası ve ışın kavramları Elemanlar’ın ilk sayfalarındaki tanımlardır. Üçgenleri kenarlarına ve açılarına göre sınıflandırmak, iç açılar toplamının 180 derece olduğunu göstermek, paralel doğruların bir kesenle yaptığı açıları incelemek hep Öklid geometrisinin konularıdır. 6. sınıftaki asal sayılar ve EBOB konusu ise kitabın sayılarla ilgili bölümlerine dayanır. Bir geometri sorusunda “Neden?” diye sorup cevabını bildiğin kurallarla adım adım gösterdiğinde, Öklid’in yöntemini kullanmış olursun. Açı bilgini Paralel Doğrular ve Çokgenlerin Açıları Oyunu ile sınayabilirsin.
Sıra Sende
Soru 1: Öklid algoritmasıyla EBOB(84, 36) kaçtır?
84 = 2 × 36 + 12 ve 36 = 3 × 12 + 0. Son sıfırdan farklı kalan 12’dir: EBOB(84, 36) = 12.
Soru 2: 2, 3 ve 5 asal sayılarını çarpıp 1 ekleyin. Çıkan sayı bu asallardan herhangi birine bölünür mü?
2 × 3 × 5 + 1 = 31. 31 sayısı 2’ye, 3’e ve 5’e bölündüğünde hep 1 kalanını verir; hiçbirine bölünmez. Üstelik 31’in kendisi asaldır. Öklid’in “asallar sonsuzdur” ispatı bu fikre dayanır.
Sık Sorulan Sorular
Öklid geometrisi nedir?
Öklid’in postulatlarına dayanan, düz yüzeydeki geometridir. Ortaokul ve lisede öğrenilen geometri budur: Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir, paralel doğrular kesişmez.
Öklid algoritması ne işe yarar?
İki sayının en büyük ortak bölenini bulur. Büyük sayılarda asal çarpanlara ayırmaktan çok daha hızlıdır.
Bunları da Okuyabilirsiniz
ROTA MATEMATİK sitesinden daha fazla şey keşfedin
Son gönderilerin e-postanıza gönderilmesi için abone olun.