8. SINIF 1. ÜNİTE : ÜSLÜ İFADELER

a bir tam sayı ve y pozitif bir tam sayı olmak üzere, aʸ sayısına üslü sayı denir. Bu ifadede a taban, y ise üs (kuvvet) olarak adlandırılır.

2ʸ = 2 · 2 · 2 · … · 2 (y tane)     (–2)ʸ = (–2) · (–2) · … · (–2) (y tane)

Anahtar Bilgiler:

• Bir üslü ifadede; taban 0 ise sonuç 0, üs 0 ise sonuç 1’dir.
• Bir üslü ifadede; taban 1 ise sonuç 1, üs 1 ise sonuç sayının kendisine eşittir.
• –1 sayısının; tek kuvvetleri –1’e, çift kuvvetleri +1’e eşittir.

Bir üslü ifade, paydan paydaya ya da paydadan paya alındığında üssünün işareti değişir.

a sıfırdan farklı bir tam sayı ve y bir doğal sayı olmak üzere:

a⁻ʸ = 1/aʸ  veya  1/aʸ = a⁻ʸ   ,   (a/b)⁻ʸ = (b/a)ʸ

Üssün negatif olması sayıyı negatif yapmaz. Sadece ters çevir anlamına gelir.

Üslü bir sayının kuvveti alınırken üsler çarpılır.

(aˣ)ʸ = aˣ·ʸ

Taban pozitif ise; üsler yer değiştirebilir: a > 0 için (aˣ)ʸ = aˣ·ʸ = aʸ·ˣ = (aʸ)ˣ

Sayı a^xʸ şeklinde verildiğinde y’nin, x veya aˣ’nin üssü olduğu belirsizdir. Dolayısıyla değeri bilinemez: (aˣ)ʸ ≠ a^(xʸ)

Bir üslü ifadenin tabanını parçalayarak bu üslü ifadeye eşit olan başka üslü ifadeler yazılabilir.

Örnek: 16 = 2⁴ → 16⁵ = (2⁴)⁵ = 2²⁰     16 = 4² → 16⁵ = (4²)⁵ = 4¹⁰

Sonuç: 16⁵ = 2²⁰ = 4¹⁰

Tabanları aynı üslü ifadelerden üssü büyük olan daha büyüktür.

Kuvvetler eşit ise tabanı büyük olan daha büyüktür.

İki üslü ifade birbirine eşit ise; a > 0, aʸ = aˣ ise x = y’dir.

Tabanlar birbirinden farklı ise; kuvvetler 0’dır.

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesi için hem tabanlar hem de üslerin aynı olması gerekir.

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi sadece katsayılar arasında yapılır. Ortak taban ve üs, toplam katsayı sonucuna çarpım olarak yazılır.

Tabanlar aynı fakat üsler farklı ise üs eşitleme işlemi yapılır. Sonra işleme geçilir.

aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ — Çarpılan üslü ifadelerin tabanları aynı ise üsler toplanır.

aˣ · bˣ = (a · b)ˣ — Çarpılan üslü ifadelerin üsleri aynı ise tabanlar çarpılır.

10’un pozitif kuvvetlerinde kuvvet kadar 0 vardır. Yani sayının basamak sayısını bulmak için 10’un kuvveti şeklinde yazmak gerekir.

Tabanları aynı üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır; ortak tabana üs olarak yazılır (a ≠ 0):

aˣ / aʸ = aˣ : aʸ = aˣ⁻ʸ

Üsleri aynı olan üslü sayılar bölünürken tabanlar bölünür; ortak üs aynen kalır (a, b ≠ 0):

aˣ / bˣ = aˣ : bˣ = (a : b)ˣ

Bir ondalık gösterimi basamak değerlerinin toplamı biçiminde yazmaya, bu ondalık gösterimi çözümleme denir.

abc,de = a·10² + b·10¹ + c·10⁰ + d·10⁻¹ + e·10⁻²

Ondalık gösterimleri çözümlerken 10’un kuvvetlerinden yararlanılır:

10⁰ = 1  |  10⁻¹ = 1/10 = 0,1  |  10⁻² = 1/100 = 0,01  |  10⁻³ = 1/1000 = 0,001

İlk önce birler basamağına 10⁰ yazılır ve sonrasında aritmetik olarak ilerlenir. Çözümleme yaparken “0” olan basamaklar genellikle yazılmaz. Çözümlenmiş hali verilir ve ondalık kesir istenirse eksik olan basamaklara “0” yazılır.

10’un Pozitif Kuvvetleri: Bir doğal sayının sonundaki sıfır sayısı 10’un pozitif kuvvetini belirler.

Örnek: 200000 = 2 · 10⁵ (5 tane 0)    42000000 = 42 · 10⁶ (6 tane 0)

10’un Negatif Kuvvetleri: Bir ondalık kesrin virgülden sonraki basamak sayısı 10’un negatif kuvvetini belirler.

Örnek: 0,000007 = 7 · 10⁻⁶ (6 basamak)    0,0000201 = 7 · 10⁻⁷ (7 basamak)

Çok büyük ve çok küçük sayılarda; virgül sağa kayarken 10’un kuvveti küçülür, virgül sola kayarken 10’un kuvveti büyür.

a sayısı 1 ≤ a < 10 olacak şekilde bir rasyonel sayı ve y bir tam sayı olmak üzere, bir sayının bilimsel gösterimi a · 10ʸ şeklindedir.

Örnek Uygulamalar:

• Gezegenlerin Güneş’e uzaklığı (Merkür: 57,9·10⁶ km, Dünya: 149,6·10⁶ km, Mars: 22,7·10⁷ km, Satürn: 14,3·10⁸ km) bilimsel gösterimle ifade edilebilir.
• Atom altı parçacıkların kütleleri (Atom: 16,6·10⁻²⁸ kg, Nötron: 16,72·10⁻²⁸ kg, Proton: 167,2·10⁻²⁸ kg, Elektron: 91,1·10⁻³² kg) gibi çok küçük değerler de bilimsel gösterimle ifade edilir.
• Bir saç telinin kalınlığı (yaklaşık 0,005 cm), ülke nüfusu gibi büyük/küçük gerçek hayat verileri bilimsel gösterimle yazılabilir.