Dönüşüm Geometrisi

Bir şeklin istenilen yöne istenilen miktarda hareket ettirilmesine öteleme denir. Öteleme sonucunda şeklin görüntüsü değişmez. Bir şekil ile öteleme sonucunda elde edilen görüntüsü eş şekillerdir. Öteleme sağa, sola, aşağı ve yukarı yapılabilir; birden fazla öteleme varsa sıranın önemi yoktur.

Örnek: Kareli zeminde bulunan bir M noktasını 5 birim yukarı, ardından 3 birim sağa ötelersek, M noktası son konumuna nasıl ulaşır?

Çözüm: Önce dikey olarak 5 birim yukarı, sonra yatay olarak 3 birim sağa kaydırılır. İşlem sırası değiştirilse de sonuç aynıdır.

Bir A(x, y) noktası için:

a birim sağa ötelenirse → (x + a, y)
a birim sola ötelenirse → (x – a, y)
a birim yukarı ötelenirse → (x, y + a)
a birim aşağı ötelenirse → (x, y – a)

Örnek: K(-5, 2) noktasını 4 birim sağa, 6 birim aşağı ötelersek yeni koordinatları ne olur?

Çözüm: (-5 + 4, 2 – 6) = (-1, -4)

Örnek: Koordinat düzleminde P(a, 2b) noktası 5 birim sola ve 2 birim yukarı ötelendiğinde P'(-3, 6) elde ediliyor. Buna göre a + b kaçtır?

Çözüm: a – 5 = -3 → a = 2. 2b + 2 = 6 → 2b = 4 → b = 2. a + b = 4

Yansıma (ayna simetrisi), bir doğruya göre simetri almaktır. Şeklin yansıması kendisine eş bir görüntü oluşturur, ancak şekil ters dönmüş hâldedir. Yansımada şeklin boyutu ve biçimi değişmez, sadece yönü değişir.

Örnek: “N”, “O”, “T” harflerinden hangileri dikey bir doğruya göre yansıtıldığında kendisiyle aynı görüntüyü verir?

Çözüm: Simetrik harfler kendisiyle aynı kalır. “O” ve “T” harfleri dikey eksene göre simetriktir, bu yüzden kendileriyle aynı görüntüyü verir. “N” harfi simetrik olmadığı için farklı görünür.

Bir A(x, y) noktası için:

x eksenine göre yansıma → A'(x, -y)
y eksenine göre yansıma → A'(-x, y)
orijine göre yansıma → A'(-x, -y)

Bir cismin x eksenine, y eksenine veya orijine göre yansıması alındığında oluşan görüntü ile cisim eştir.

Örnek: R(-3, 7) noktasının x eksenine, y eksenine ve orijine göre yansımalarını bulalım.

Çözüm: x eksenine göre: (-3, -7)  |  y eksenine göre: (3, 7)  |  orijine göre: (3, -7)

Örnek: M(x, y) noktasının x eksenine göre yansıması M'(6, -9) noktasıdır. Buna göre M noktasının y eksenine göre yansımasının koordinatları toplamı kaçtır?

Çözüm: M'(6, -9) → M(6, 9) (çünkü x eksenine göre yansımada x değişmez, y işaret değiştirir). M’nin y eksenine göre yansıması: (-6, 9) → toplam = -6 + 9 = 3

Bir şeklin bir doğru boyunca yansımasından sonra ötelenmesine ya da ötelenmesinden sonra yansımasına ötelemeli yansıma denir. Ötelemenin yönü ve miktarı aynı olmak koşuluyla, önce yansıma sonra öteleme yapılmasıyla, önce öteleme sonra yansıma yapılması sonucunda oluşan şekil aynı konumdadır.

Örnek: Köşe noktalarından biri T(4, -2) olan bir üçgen önce x eksenine göre yansıtılıyor, sonra elde edilen görüntü 3 birim sağa ve 2 birim yukarı öteleniyor. T noktasının son konumu nedir?

Çözüm: x eksenine göre yansıma: T(4, -2) → T'(4, 2). Ardından 3 birim sağa, 2 birim yukarı öteleme: T'(4, 2) → T”(7, 4)

Örnek: Bir ABCD karesi x ekseninde 4 birim sola öteleniyor, sonra elde edilen görüntünün y eksenine göre yansıması alınıyor. Karenin köşelerinden A(2, 3) noktası bu işlemler sonucunda hangi noktaya gider?

Çözüm: 4 birim sola öteleme: A(2, 3) → (-2, 3). y eksenine göre yansıma: (-2, 3) → (2, 3) (başlangıç noktasıyla aynı çıktı, çünkü öteleme ve yansıma birbirini bu özel durumda dengeledi)