8. SINIF 3. ÜNİTE : CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

En az bir değişken ve işlem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir. Cebirsel ifadelerde kullanılan x, y, z, m, n ve k gibi harflere değişken (bilinmeyen) denir.

Bir cebirsel ifadede “+” veya “–” işaretleriyle ayrılan kısımlara terim denir. Her bir terimin sayısal çarpanına katsayı denir. Hiçbir değişkene bağlı olmayan terime sabit terim denir. (Sabit terim de cebirsel ifadenin bir katsayısıdır.)

Benzer terim: Değişkenleri ve aynı değişkenlerin kuvvetleri eşit olan terimlere denir. Benzer terimler, kendi arasında ortak çarpan parantezine alınarak toplama ve çıkarma işlemi yapılabilir.

Örnek: 2x² + 5y − 12 ifadesinde:

Terimler: 2x², 5y, −12  |  Katsayılar: 2, 5, −12  |  Değişkenler: x, y  |  Sabit terim: −12

Cebirsel ifadeler farklı biçimlerde yazılabilirler.

Örnek: 12x³ = 3x · 4x² = 3 · 4x³ = 3x² · 4x = 12 · x · x · x

Örnek: (a + a)·(b + b + b) = 2a · 3b = 6ab

Cebirsel ifadelerde çarpma işlemi yapılırken katsayılar çarpılıp katsayı olarak yazılır. Aynı değişkenler çarpılırken kuvvetleri toplanır, farklı değişkenler çarpılırken çarpım olarak yazılır.

Çarpma işlemi sonunda benzer terimli olanlar toplama veya çıkarma işlemi yapılarak düzenlenir.

Örnek: 4 · (2x + 5) = 8x + 20

Örnek: (2a + 1)·(a + 5) = 2a² + 10a + a + 5 = 2a² + 11a + 5

Örnek: (3x + 2)·(x − 5) = 3x² − 15x + 2x − 10 = 3x² − 13x − 10

Cebir Karoları ile Modelleme: Modelleme yapılırken alan hesabından yararlanılır. Kenar uzunlukları çarpanlar olacak şekilde modelleme yapılır. Kullanılan parçaların alanları toplamı, çarpma işleminin sonucunu verir.

Bir eşitlik bir veya birkaç gerçek sayı değeri için sağlanıyorsa bu tür eşitliklere denklem denir. Bir eşitlik, içerdiği değişkenlere verilecek bütün gerçek sayılar için sağlanıyorsa bu tür eşitliklere özdeşlik denir.

Kısacası, işlem yapıldıktan sonra her iki taraftaki terimler bire bir aynı oluyorsa bu eşitlikler özdeşliktir.

Örnek: x + 3 = 7 eşitliğini yalnız x = 4 değeri sağlar → denklem.

Örnek: x² − 9 = (x − 3)·(x + 3) eşitliği x yerine yazılabilecek her gerçek sayı için sağlanır → özdeşlik.

İki Terimin Toplamının Karesi Özdeşliği:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

İki terimin toplamının karesi; birinci terimin karesi, iki terimin çarpımının iki katı ve ikinci terimin karesinin toplamına eşittir.

İki Terimin Farkının Karesi Özdeşliği:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

İki terimin farkının karesi; birinci terimin karesi, iki terimin çarpımının eksi iki katı ve ikinci terimin karesinin toplamına eşittir.

İki Kare Farkı Özdeşliği:

a² − b² = (a − b)·(a + b)

İki terimin karelerinin farkı, bu iki terimin toplamı ile farkının çarpımına eşittir.

Örnek: (x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9

Örnek: a² − 16 = (a − 4)·(a + 4)

Örnek: 9x² − 25 = (3x − 5)·(3x + 5)

Cebirsel ifadeleri iki veya daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazma işlemine “Çarpanlara Ayırma” denir. Üç yöntem kullanılır:

• Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma
• Tam kare özdeşliklerden yararlanarak çarpanlara ayırma
• İki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlara ayırma

Ortak Çarpan Parantezine Alma: İki veya daha fazla terimden oluşan bir cebirsel ifadede tüm terimlerdeki ortak çarpan, çarpan olarak parantez dışına yazılır (dağılma özelliğinden yararlanılır).

Örnek: 5x + 10xy = 5x + 5·2·x·y = 5x(1 + 2y)

Örnek: (a + b)·x − a − b = (a + b)·x − 1·(a + b) = (a + b)·(x − 1)

Tam Kare Özdeşliklerden Yararlanma: Verilen ifadenin, birinci ve üçüncü teriminin karekökleri alınır. Bulunan kareköklerin çarpımının iki katı ortadaki terime eşitse, ifade birinci ve üçüncü terimlerin kareköklerinin toplamının veya farkının karesine eşit olur.

Üç terimli bir ifade tam kare özdeşliği ile yazılamıyorsa önce ortak çarpan parantezine alınabiliyor mu diye kontrol edilir.

Örnek: x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3)·(x + 3)

Örnek: 3a² − 24a + 48 = 3(a² − 8a + 16) = 3·(a − 4)² = 3·(a − 4)·(a − 4)

İki Kare Farkı Özdeşliğinden Yararlanma: Verilen ifadede terimlerin karekökleri bulunur. Bu köklerin toplamı ile farkının çarpımı şeklinde yazılır.

Örnek: 9x² − 16 = (3x − 4)·(3x + 4)