Eş Şekiller
Karşılıklı açılarının ölçüleri ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşit olan şekillere eş şekiller denir. Eşlik “≅” sembolü ile gösterilir.
İki çokgen eş ise: karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarları eşit, çevreleri eşit ve alanları eşittir.
Dikkat: Eşlik bağıntısı yazılırken eşit açılar karşılıklı sırayla yazılır. Örneğin ABC ≅ DEF yazıldığında A açısı D açısına, B açısı E açısına karşılık gelir.
Örnek: ABC ≅ KLM olduğuna göre, |AB| = 4x – 2 ve |KL| = 2x + 8 ise x kaçtır?
Çözüm: 4x – 2 = 2x + 8 → 2x = 10 → x = 5
Benzerlik
İki çokgenin karşılıklı açılarının ölçüleri eşit ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı ise bu iki çokgen benzerdir. Bu orana benzerlik oranı (k) denir. Benzerlik “~” sembolü ile gösterilir.
Benzer çokgenlerde önce açılar eşleştirilir, sonra aynı açıların karşısındaki kenarlar oranlanır.
Önemli: Eş çokgenlerin benzerlik oranı 1’dir. Bu yüzden her eş çokgen aynı zamanda benzerdir; ama her benzer çokgen eş değildir. Kenar sayıları eşit olan düzgün çokgenler her zaman benzerdir.
Benzer çokgenlerin çevreleri oranı benzerlik oranına, alanları oranı ise benzerlik oranının karesine eşittir.
Örnek: Bir ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |BC| = 15 cm, |AC| = 20 cm’dir. Bu üçgene benzer olan DEF üçgeninde |DE| = 6 cm ise benzerlik oranı ve |EF|, |DF| kaçtır?
Çözüm: k = 6/10 = 3/5 → |EF| = 15 × 3/5 = 9 cm, |DF| = 20 × 3/5 = 12 cm
Örnek: Bir fotoğrafın kenarları 30 cm × 20 cm’dir. Bu fotoğraf %50 oranında büyütülüyor. Yeni fotoğrafın çevresinin eski fotoğrafın çevresine oranı kaçtır?
Çözüm: Benzerlik oranı k = 1,5 olduğundan çevre oranı da 1,5‘tir (çevre oranı = benzerlik oranı).
Örnek: Kenarları 8 cm ve 12 cm olan bir dikdörtgenle benzer olan başka bir dikdörtgenin kısa kenarı 6 cm’dir. Bu dikdörtgenin alanlarının oranı kaçtır?
Çözüm: Benzerlik oranı k = 6/8 = 3/4 → alan oranı = k² = 9/16
Üçgenlerde Benzerlik Uygulamaları
Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru parçası, üçgenin diğer iki kenarını orantılı böler. Bu, benzerlik ilişkisiyle çözülen problemlerde sıkça kullanılır.
Örnek: ABC üçgeninde [DE] // [BC], |AD| = 3 cm, |DB| = 6 cm ve |DE| = 4 cm ise |BC| kaç cm’dir?
Çözüm: ADE ~ ABC benzerliğinden AD/AB = DE/BC → 3/9 = 4/BC → BC = 12 cm
Örnek: Dik üçgende [AH], hipotenüse ait yükseklik olmak üzere |BH| = 4 cm, |HC| = 9 cm ise |AH| kaç cm’dir?
Çözüm: ABH ~ CAH benzerliğinden AH² = BH × HC = 4 × 9 = 36 → AH = 6 cm
Eşlik ve Benzerlik Ayrımı
Bütün eşkenar üçgenler birbirine benzerdir. Bütün kareler birbirine benzerdir. Ancak bütün dikdörtgenler ya da bütün ikizkenar üçgenler birbirine benzer olmak zorunda değildir; kenar oranlarının eşit olması gerekir.
Örnek: Bir kare kağıt önce dikey, sonra yatay simetri ekseninden ikiye katlanıyor. Elde edilen son şeklin çevresinin başlangıçtaki karenin çevresine oranı kaçtır?
Çözüm: Kenar uzunluğu yarıya indiği için çevre de yarıya iner → oran 1/2‘dir.