8. SINIF 5. ÜNİTE : ÜÇGENLER

Üç kenarı olan çokgenlere üçgen denir. Üçgenin temel elemanları üç kenarı ve bu kenarlar arasındaki üç açısıdır. Köşelerin karşısındaki kenarlar köşenin ismiyle adlandırılır. Her üçgenin iç açıları toplamı 180°dir.

Üçgenler açılarına göre: dar açılı, dik açılı, geniş açılı; kenarlarına göre: çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar olarak sınıflandırılır.

Kenarortay: Bir köşeden karşı kenarı iki eş parçaya ayıracak şekilde çizilen doğru parçasıdır. Üç kenarortay üçgenin iç bölgesinde ağırlık merkezinde kesişir.

Açıortay: Bir açıyı iki eş parçaya ayıran ve karşı kenara çizilen doğru parçasıdır.

Yükseklik: Bir köşeden karşı kenara (veya uzantısına) çizilen dik doğru parçasıdır. Dar açılı üçgende iç bölgede, geniş açılı üçgende dış bölgede kesişir.

Özel Durumlar:

İkizkenar üçgende tepe açısından çizilen yükseklik, kenarortay ve açıortay aynı doğru parçasıdır.

Eşkenar üçgende tüm yükseklikler, kenarortaylar ve açıortaylar birbirine eşittir.

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsü iki eş parçaya ayırır (Muhteşem Üçlü).

Bir üçgenin herhangi bir kenarı, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.

|a – b| < c < a + b

Örnek: Kenar uzunlukları 6 cm ve 9 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarı x cm ise, x’in alabileceği tam sayı değerlerini bulalım.

Çözüm: |9 – 6| < x < 9 + 6 → 3 < x < 15 → x, 4 ile 14 arasında (4 ve 14 dahil) tam sayı değerleri alabilir.

Örnek: Kenarları tam sayı olan ve çevresi 11 cm olan bir üçgende en uzun kenar en az kaç cm olabilir?

Çözüm: Kenarlar birbirine mümkün olduğunca yakın seçildiğinde üçgen oluşur; 3-4-4 gibi bir kombinasyon dener, en uzun kenar en az 4 cm olur.

Bir üçgende büyük açının karşısında uzun kenar, küçük açının karşısında kısa kenar bulunur. Açılar eşitse karşılarındaki kenarlar da eşittir. Dik üçgende en uzun kenar her zaman hipotenüstür.

Örnek: Bir ABC üçgeninde s(A) = 50°, s(B) = 70°, s(C) = 60° ise kenarları küçükten büyüğe sıralayalım.

Çözüm: En küçük açı A (50°) → karşısındaki kenar a en kısa; en büyük açı B (70°) → karşısındaki kenar b en uzun. Sıralama: a < c < b

Bir üçgenin tek şekilde çizilebilmesi için en az biri kenar olmak üzere 3 eleman verilmelidir:

• K-K-K: Üç kenar uzunluğu (pergel ve cetvel)
• K-A-A: Bir kenar ve iki açı (cetvel ve açıölçer)
• K-A-K: İki kenar ve aralarındaki açı (cetvel ve açıölçer)

Dikkat: Sadece üç açısının ölçüsü verilen üçgen tek bir şekilde çizilemez (benzer sonsuz üçgen çizilebilir). İki açı ve bunlar arasında olmayan bir kenar verilirse yine tek üçgen çizilebilir çünkü üçüncü açı otomatik hesaplanır.

Dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir:

hipotenüs² = dik kenar² + dik kenar²

Örnek: Dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan dik üçgenin hipotenüsünü bulalım.

Çözüm: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → hipotenüs = 15 cm (3-4-5 üçgeninin 3 katı)

Örnek: Hipotenüsü 20 cm, bir dik kenarı 16 cm olan üçgenin diğer dik kenarını bulalım.

Çözüm: 20² – 16² = 400 – 256 = 144 → diğer kenar = 12 cm (12-16-20, yani 3-4-5’in 4 katı)

Özel Üçgenler (Pisagor Üçlüleri):

3-4-5  |  5-12-13  |  8-15-17  |  7-24-25 (ve bunların katları)

30-60-90 Üçgeni: 30°nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir. 60°nin karşısındaki kenar ise hipotenüsün yarısının √3 katıdır.

45-45-90 Üçgeni: İkizkenar dik üçgende hipotenüs, dik kenar uzunluğunun √2 katına eşittir.

Örnek: Bir dik üçgende bir açı 30°, hipotenüs 18 cm ise kısa dik kenarı bulalım.

Çözüm: Kısa kenar = hipotenüs / 2 = 18/2 = 9 cm

Örnek: İkizkenar dik üçgende dik kenar 6 cm ise hipotenüsü bulalım.

Çözüm: Hipotenüs = 6√2 cm

İki nokta arasındaki uzaklık, x ve y farklarının kareleri toplamının karekökü alınarak Pisagor bağıntısıyla bulunur.

Örnek: Koordinat düzleminde K(3, 2) ve L(-1, 5) noktaları arasındaki uzaklığı bulalım.

Çözüm: Yatay fark = 4, dikey fark = 3 → uzaklık = √(4² + 3²) = √25 = 5 birim

Örnek: Bir drone başlangıç noktasından önce 6 metre kuzeye, sonra 8 metre doğuya uçuyor. Drone’un başlangıç noktasına en kısa uzaklığı kaç metredir?

Çözüm: √(6² + 8²) = √(36+64) = √100 = 10 metre