Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
İçinde bir bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin kuvveti 1 olan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir; ax + b = 0 şeklinde gösterilir. Denklemi sağlayan x değerine denklemin kökü, köklerden oluşan kümeye ise çözüm kümesi denir.
Örnek: 4x − 9 = 2x + 7 denklemini çözelim:
4x − 2x = 7 + 9 → 2x = 16 → x = 8
4x − 2x = 7 + 9 → 2x = 16 → x = 8
⭐ Denklemde parantez varsa önce dağılma özelliğiyle, payda varsa paydalar eşitlenerek yok edilir; ancak paydayı sıfır yapan x değeri çözüm kümesine asla alınmaz.
Koordinat Sistemi
Yatay eksene apsis (x ekseni), dikey eksene ordinat (y ekseni) denir; kesiştikleri nokta orijindir. Düzlem dört bölgeye ayrılır:
| Bölge | x işareti | y işareti |
|---|---|---|
| I. Bölge | + | + |
| II. Bölge | − | + |
| III. Bölge | − | − |
| IV. Bölge | + | − |
Örnek: K(−5, 3) noktasının x eksenine uzaklığı |3| = 3 birim, y eksenine uzaklığı |−5| = 5 birimdir. Bu nokta II. bölgededir.
⭐ Bir nokta eksenlerin üzerindeyse (örneğin (0, 4) veya (−6, 0) gibi) hiçbir bölgeye ait değildir.
Doğrusal İlişkiler ve Bağımlı-Bağımsız Değişken
İki değişken aynı oranda artıp azalıyorsa aralarında doğrusal ilişki vardır; bu ilişki ax + by + c = 0 şeklinde yazılır. Değerini bizim belirlediğimiz değişken bağımsız, ona bağlı olarak değişen ise bağımlı değişkendir.
Örnek: Bir su deposu dakikada 6 litre su ile doluyor ve başlangıçta içinde 10 litre su var. x dakika sonraki su miktarı y ise:
y = 6x + 10 → x bağımsız, y bağımlı değişkendir.
y = 6x + 10 → x bağımsız, y bağımlı değişkendir.
⭐ Bir tabloda doğrusal ilişki olup olmadığını anlamak için ardışık y değerleri arasındaki farkların eşit olup olmadığına bakılır; farklar eşitse ilişki doğrusaldır.
Doğrusal Denklemlerin Grafiği
| Denklem Türü | Grafiğin Özelliği |
|---|---|
| x = a | y eksenine paralel dikey doğru |
| y = b | x eksenine paralel yatay doğru |
| y = mx | Orijinden geçen doğru |
| y = mx + n | Her iki ekseni de kesen doğru |
Örnek: y = −3x + 6 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulalım:
x = 0 için y = 6 → (0, 6); y = 0 için x = 2 → (2, 0)
x = 0 için y = 6 → (0, 6); y = 0 için x = 2 → (2, 0)
⭐ Bir doğrunun grafiğini çizmek için iki nokta yeterlidir; en pratik yol denklemde önce x=0, sonra y=0 yazarak eksenleri kestiği noktaları bulmaktır.
Eğim
Bir doğrunun eğimi, dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranıdır ve “m” ile gösterilir. y = mx + n şeklindeki bir denklemde x’in katsayısı doğrudan doğrunun eğimini verir.
Örnek: Yüksekliği 4 m, yatay uzunluğu 20 m olan bir rampanın eğimi:
m = 4 / 20 = 0,2 (yani %20)
m = 4 / 20 = 0,2 (yani %20)
⭐ Eğim pozitifse doğru sağa doğru yükselir, negatifse sağa doğru alçalır; x eksenine paralel doğrularda eğim 0, y eksenine paralel (dikey) doğrularda eğim tanımsızdır.