Dik Prizmalar
Tabanları birbirine eş çokgen, yan yüzleri ise taban düzlemlerine dik dikdörtgenler olan cisimlere dik prizma denir. Prizmalar tabanlarına göre isimlendirilir (üçgen, kare, dikdörtgen, beşgen dik prizma gibi).
Taban çokgeni n kenarlı dik prizmalarda: Yüzey sayısı = n + 2, Köşe sayısı = 2n, Ayrıt sayısı = 3n
Örnek: Yedigen dik prizmanın köşe, yüzey ve ayrıt sayılarını bulalım.
Çözüm: Köşe = 2×7 = 14, Yüzey = 7+2 = 9, Ayrıt = 3×7 = 21
Örnek: Taban ayrıtı 5 cm olan bir kare dik prizmanın açınımının çevre uzunluğu 84 cm ise yüksekliği kaç cm’dir?
Çözüm: Açınım çevresi = 4 taban kenarı + 4 yükseklik → 84 = 4(5) + 4h → 4h = 64 → h = 16 cm
Dik Dairesel Silindir
Tabanları birbirine eş ve paralel iki daire, yan yüzü dikdörtgen olan cisimlere silindir denir. Tabanların merkezini birleştiren doğruya eksen, tabanların karşılıklı noktalarını birleştiren eksene paralel doğrulara ana doğru denir. Silindirin tabanının çevre uzunluğu, yan yüzü oluşturan dikdörtgenin bir kenarına eşittir.
Örnek: Yarıçapı 4 dm olan bir su tankının yan yüzünü oluşturan dikdörtgenin çevresi 140 dm’dir. Tankın yüksekliğini bulalım. (π = 3 alınız)
Çözüm: Taban çevresi = 2×3×4 = 24 dm. Dikdörtgen çevresi = 2(24 + h) = 140 → 24 + h = 70 → h = 46 dm
Silindirin Yüzey Alanı
Taban alanı = πr² | Yanal alan = 2πrh
Yüzey alanı = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
Örnek: Yarıçapı 3 cm, yüksekliği 7 cm olan dik dairesel silindirin yüzey alanını bulalım. (π = 3 alınız)
Çözüm: Yüzey alanı = 2×3×3×(3+7) = 18×10 = 180 cm²
Silindirin Hacmi
Silindirin hacmi = Taban alanı × Yükseklik = πr² × h
Örnek: Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 6 cm olan bir dik silindirin hacmini bulalım. (π = 3 alınız)
Çözüm: Hacim = 3 × 5² × 6 = 3 × 25 × 6 = 450 cm³
Örnek: Taban yarıçapı 3 cm olan silindir şeklindeki bir kaptaki su, taban yarıçapı 6 cm olan başka bir silindir kaba boşaltılıyor. İlk kaptaki suyun yüksekliği 20 cm ise ikinci kaptaki suyun yüksekliği kaç cm olur?
Çözüm: Hacim korunur: π×3²×20 = π×6²×h → 180 = 36h → h = 5 cm
Dik Piramit
Tabanı çokgen, yan yüzleri ortak bir tepe noktasında birleşen üçgenlerden oluşan cisimlere piramit denir. Bütün yüzleri eşkenar üçgen olan piramide düzgün dörtyüzlü denir.
Piramitte yan yüz yüksekliği (x), taban yarı kenarı (a/2) ve piramidin yüksekliği (h) arasında: h² + (a/2)² = x²
Örnek: Taban ayrıtı 10 cm, yüksekliği 12 cm olan bir kare piramidin yan yüz yüksekliğini bulalım.
Çözüm: x² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 → x = 13 cm
Örnek: Sekizgen dik piramidin köşe sayısı 9’dur (8 taban köşesi + 1 tepe noktası). Bir sekizgen piramitin yan yüzlerinin sayısı kaçtır?
Çözüm: Yan yüz sayısı taban kenar sayısına eşittir → 8
Dik Koni
Tabanı daire şeklinde olan ve bir tepe noktası bulunan cisimlere koni denir. Koninin yanal yüzeyi bir daire dilimi, tabanı bir dairedir. Yükseklik (h), yarıçap (r) ve ana doğru (a) arasında: h² + r² = a² (Pisagor bağıntısı)
Örnek: Taban yarıçapı 6 cm, yüksekliği 8 cm olan dik koninin ana doğrusunu bulalım.
Çözüm: a² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → a = 10 cm
Örnek: Çapı 20 cm olan yarım daire şeklindeki bir kağıt kıvrılarak dik koni elde ediliyor. Oluşan koninin taban yarıçapını bulalım. (π = 3 alınız)
Çözüm: Yarım dairenin yay uzunluğu = koninin taban çevresi. Yarım daire yay uzunluğu = π×10 = 30 cm. Taban çevresi = 2×3×r = 30 → r = 5 cm