8. SINIF 2. ÜNİTE : KAREKÖKLÜ İFADELER

Karesel bölgenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisi ile çarpımına eşittir. Karenin bir kenar uzunluğundan karenin alanını bulmaya kare alma işlemi, karenin alanından bir kenar uzunluğunu bulmaya karekök alma işlemi denir.

Yani verilen bir sayının, hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemi karekök almadır.

Karekök √ sembolü ile gösterilir. Bu sembolü ilk kez Alman matematikçi Christoff Rudolff (1499–1545) “Die Coss” kitabında 1525 yılında kullanmıştır.

Örnek: √64 = √8² = 8 (64 hangi sayının karesi? → 8’in)

Bir pozitif sayının karesinin karekökü kendisine eşittir.

√ işleminin sonucu negatif olamaz.

İç içe verilmiş köklerde işleme en içteki kökten başlanır.

Üslü sayıların karekökü alınırken, üsler ikiye bölünerek karekök dışına çıkar: √aⁿ = a^n/2

Tam kare olmayan bir sayının karekök değeri bulunurken öncelikle karekök içindeki sayıdan önce ve sonra gelen iki tam kare sayı bulunur. Sonra hangisine daha yakın olduğu belirlenerek yaklaşık değeri bulunur.

Örnek: √10’un yaklaşık değerini bulalım.

9 < 10 < 16 olduğundan √9 < √10 < √16 → 3 < √10 < 4, yani √10 sayısı 3 ile 4 arasındadır.

10 – 9 = 1 ve 16 – 10 = 6 olduğundan √10 sayısı 3’e daha yakındır.

Karekök içindeki bir sayıyı a√b şeklinde yazmak için; karekök içindeki sayı, çarpanlarından birisi bir doğal sayının karesi olacak şekilde iki sayının çarpımı şeklinde yazılır. Tam kare olan çarpan karekök dışına çıkarılır.

Büyük sayılarda karekök içindeki sayı asal çarpanlarına ayrılır ve aynı olan iki çarpandan biri kök dışına katsayı olarak yazılır. Tek kalan çarpanlar içeride kalır. Küçük sayılarda 1. yolu, büyük sayılarda 2. (asal çarpanlara ayırma) yolu uygulanır.

Örnek: √18 = √(9·2) = √(3²·2) = 3√2

Örnek: 80 = 2⁴·5 → √80 = √(2⁴·5) = 2²√5 = 4√5

Kareköklü bir ifadenin kat sayısı karekök içine alınırken kat sayının karesi alınır ve karekök içindeki sayı ile çarpılır: a√b = √(a²·b)

–a√b ifadesinde katsayı olan a sayısı karekök içine alınırken (–) işareti kök dışında bırakılır: –a√b = –√(a²·b)

Örnek: 5√2 = √(5²·2) = √50

Örnek: –2√5 = –√(2²·5) = –√20

Köklü sayılarda sıralama yaparken kat sayıları kök içine almak iyi bir yöntemdir.

Kareköklü sayılarda çarpma işlemi yapılırken; karekök içindeki sayılar ortak bir karekök içinde çarpılır, katsayılar ise kendi aralarında çarpılıp kareköklü sayıya kat sayı olarak yazılır.

a√b · c√d = a·c·√(b·d)    √a · √b = √(a·b)    √a · √a = √a² = a

Köklü bir ifade kendisi ile çarpılırsa kök dışına çıkar. Örnek: √7 · √7 = 7

Kareköklü sayılar arasında bölme işlemi yapılırken karekök içindeki sayılar tek karekök içinde bölünür, kat sayılar kendi aralarında bölünüp kareköklü sayıya kat sayı olarak yazılır.

(a√b) / (c√d) = (a/c) · √(b/d)

Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılırken karekök içleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. Kareköklü ifadeler ortak karekök olarak aynen yazılır.

a√b + c√b = (a+c)√b    a√b – c√b = (a–c)√b

Toplama ve çıkarma işlemi yapılırken karekök içindeki sayılar eşit değilse önce karekök içleri eşitlenir (a√b şeklinde sadeleştirilir). Kök içlerinin eşitlenemediği durumlarda herhangi bir işlem yapılamaz.

Örnek: √12 + 4√3 = 2√3 + 4√3 = 6√3

Örnek: √50 – √32 = 5√2 – 4√2 = √2

Örnek: 3√2 + 2√3 → Toplanamaz (kök içleri farklı).

a√b şeklindeki bir sayı, içinde √b olan bir çarpan ile çarpılırsa sonuç bir doğal sayı olur. Çarpanlar bulunurken, karekökün içinin tam kare sayı olacak şekilde çarpanlar seçilmelidir.

Paydasında kareköklü bir ifade bulunan (a/b şeklinde yazılabilen, b≠0) ifadenin paydasını doğal sayı (rasyonel) yapmak için, paydanın tam kare olabileceği şekilde ifadenin genişletilmesi gerekir.

Örnek: 5/√2 sayısını rasyonel yapmak için √2 ile genişletilir: 5/√2 = (5·√2)/(√2·√2) = 5√2/2

Karekök içindeki ondalık ifadeler önce rasyonel (kesir) ifadelere dönüştürülür, sonra pay ve paydanın ayrı ayrı karekökü alınır. Payda rasyonel (tam kare) ifade değilse, rasyonel olacak şekilde genişletilir.

Örnek: √1,44 = √(144/100) = 12/10 = 1,2

Örnek: √0,0121 = √(121/10000) = 11/100 = 0,11

İrrasyonel Sayılar: İki tam sayının oranı (a/b) şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir ve Q’ veya I sembolü ile gösterilir.

Sayı Kümeleri:

• (S) Sayma Sayıları: {1, 2, 3, 4, 5, …}
• (N) Doğal Sayılar: {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
• (Z) Tam Sayılar: {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}
• (Q) Rasyonel Sayılar: a/b şeklinde yazılabilen sayılar (b≠0)
• (Q’) İrrasyonel Sayılar: a/b şeklinde yazılamayan sayılar
• (R) Reel (Gerçek) Sayılar: Rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamı; sayı doğrusunu tam olarak doldurur.

Q ∪ I = R (Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi Gerçek Sayılar kümesini oluşturur.)

Karekök dışına tam sayı olarak çıkamayan sayılar irrasyoneldir (örn. √2, √3, √15, √21…).

Belirli bir kurala göre devam etmeyip sonsuza kadar giden ondalık sayılar irrasyoneldir (örn. π sayısı, 2,169837942…).

Devirli ondalık sayılar rasyoneldir, irrasyonel sayı değildir.

Devirli ondalık gösterimleri rasyonel olarak ifade etmek için virgül düşünülmeden sayının tamamından devretmeyen kısım çıkarılır, sonuç pay olarak yazılır.

Ondalık kısımda devreden kısmın basamak sayısı kadar 9, devretmeyen kısmın basamak sayısı kadar paydaya sıfır (0) yazılır.

Formül: (Sayının tamamı – Devretmeyen Kısım) / (Virgülden sonra devreden kadar “9”, devretmeyen kadar “0”)

Örnek: 1,57̄ = (157–15)/90 = 142/90 = 71/45

Örnek: 2,7̄ = (27–2)/9 = 25/9

Virgülden sonra sadece 9 sayısı varsa ve devrediyorsa tam kısım 1 arttırılır.