Elinize bir kâğıt alıp ikiye katladığınızda farkında olmadan bir geometri işlemi yaparsınız: Kâğıt üzerinde kusursuz bir doğru oluşturursunuz. Japoncada ori (katlamak) ve kami (kâğıt) kelimelerinden gelen origami, yalnızca kesip yapıştırmadan kâğıt katlayarak şekiller oluşturma sanatıdır. Bu sanatın arkasında cetvelden ve pergelden bile güçlü olabilen bir matematik saklıdır. Bu yazıda katlamanın geometrisini keşfedecek ve sınıfta uygulanabilir üç etkinlik yapacağız.
Her Kat Bir Geometri İşlemi
Katlama sırasında kâğıdın bir parçası, katlama çizgisine göre öbür parçanın üstüne yansıtılır. Yani katlama çizgisi bir simetri eksenidir. Bu basit gerçekten çok önemli sonuçlar çıkar:
- İki noktayı üst üste getirmek: Kâğıttaki A ve B noktalarını çakıştıracak şekilde katlarsanız katlama çizgisi, AB doğru parçasının orta dikmesi olur. Çizginin üzerindeki her nokta A’ya ve B’ye eşit uzaklıktadır.
- İki kenarı üst üste getirmek: Bir açının iki kolunu çakıştıracak şekilde katlarsanız katlama çizgisi, o açının açıortayı olur. Açı tam ortadan ikiye bölünür.
- Bir kenarı kendi üzerine katlamak: Kenarın iki parçasını çakıştırırsanız katlama çizgisi kenara dik olur.
Matematikçiler 20. yüzyılın sonunda katlamayla yapılabilecek bütün temel işlemleri birkaç kurala bağladılar. Bu kurallar şaşırtıcı bir sonuç ortaya koydu: Origamiyle, yalnızca cetvel ve pergel kullanarak yapılamayan bazı çizimler de yapılabilir. Örneğin cetvel ve pergelle herhangi bir açıyı tam üç eş parçaya bölmek imkânsızdır; Japon matematikçi Hisashi Abe ise 1980’de bunun katlayarak nasıl yapılabileceğini gösterdi.
Etkinlik 1: A4 Kâğıttan Kare Elde Et
Origami genellikle kare kâğıtla yapılır. Evde kare kâğıt yoksa bir A4 kâğıttan kolayca kare elde edebilirsiniz:
- A4 kâğıdın sol üst köşesini, kısa üst kenar sağ kenarın üzerine tam oturacak şekilde aşağı doğru katlayın. Bir üçgen oluşacak.
- Üçgenin altında kalan dikdörtgen şeridi katlama çizgisinden makasla kesin.
- Üçgeni açın: Elinizde bir kare ve kâğıdın üzerinde bir köşegen var.
Katlarken kâğıdın üst kenarını sağ kenarın üzerine çakıştırdık, yani dik açıyı ikiye böldük. Katlama çizgisi 90°’lik köşenin açıortayıdır ve kenarlarla 45°‘lik açı yapar. Üst kenar sağ kenarın üzerine tam oturduğu için kesilen parçanın iki kenarı birbirine eşittir.
A4 kâğıdın boyutları 21 cm × 29,7 cm’dir. Buna göre elde edilen karenin bir kenarı 21 cm, kesilen şeridin boyutları ise 21 cm × (29,7 − 21) = 21 cm × 8,7 cm‘dir.
Etkinlik 2: Cetvelsiz ve İletkisiz Eşkenar Üçgen
Bu etkinlikte yalnızca katlayarak, üç kenarı eşit olan bir üçgen elde edeceğiz. Elinizdeki karenin alt kenarının köşelerine A (sol) ve B (sağ) diyelim.
- Kareyi soldan sağa ikiye katlayıp açın. Ortada dikey bir katlama izi oluşacak. Bu iz, AB kenarının orta dikmesidir.
- B köşesini sabit tutarak A köşesini yukarı doğru kaldırın ve ortadaki izin üzerine değecek şekilde katlayın. Katlama çizgisi B köşesinden geçmeli. A’nın izin üzerine değdiği noktayı işaretleyin ve P diyin.
- Kâğıdı açın ve A ile P’yi, sonra B ile P’yi birleştiren çizgiler boyunca katlayın. ABP üçgeni bir eşkenar üçgendir.
• İkinci adımda A köşesini B’nin etrafında döndürüp P’ye taşıdık. Katlama uzunlukları değiştirmediği için BP = BA‘dır.
• P noktası AB’nin orta dikmesi üzerindedir. Orta dikme üzerindeki her nokta A’ya ve B’ye eşit uzaklıkta olduğundan PA = PB‘dir.
• Buna göre PA = PB = AB olur; üç kenar eşittir. Üçgenin her iç açısı 180 : 3 = 60°‘dir. Bu açıyı bir kez daha ikiye katlarsanız 30°’lik bir açı elde edersiniz.
Etkinlik 3: 42 Katlamada Ay’a Gitmek
Bir kâğıdı ikiye katladığınızda kalınlığı 2 katına çıkar. Bir kez daha katlarsanız 4, sonra 8, sonra 16 kat olur. Yani n kez katlanmış bir kâğıdın kalınlığı ilk kalınlığın 2n katıdır. Sınıfta bir kâğıdı kaç kez katlayabildiğinizi deneyin: Çoğu kişi 7 ya da 8 katlamadan sonra kâğıdı daha fazla katlayamaz. 7 katlamada kâğıt 27 = 128 kat kalınlaşmıştır bile!
Kalınlığı 0,1 mm olan bir kâğıdı (gerçekte imkânsız olsa da) 42 kez katlayabildiğimizi düşünelim. 242 yaklaşık 4,4 trilyondur. Kâğıdın kalınlığı yaklaşık 4,4 trilyon × 0,1 mm = 440 milyar mm = 440 milyon m = yaklaşık 440.000 km olur. Dünya ile Ay arasındaki ortalama uzaklık yaklaşık 384.000 km’dir. Yani kâğıt Ay’a ulaşır, hatta geçer! Üslü sayılarla büyümenin ne kadar hızlı olduğunu gösteren en çarpıcı örneklerden biri budur.
Turna Kuşundan Uzay Teleskobuna
Origaminin en bilinen modeli turna kuşudur. Japonya’da bin turna katlayan birinin dileğinin gerçekleşeceğine inanılır. Hiroşima’da atom bombasının etkisiyle hastalanan küçük Sadako Sasaki’nin turna katlama hikâyesinden sonra kâğıt turnalar dünya genelinde barışın sembolü hâline geldi.
Bugün origami yalnızca bir sanat değil, bir mühendislik aracı. Japon astrofizikçi Koryo Miura’nın geliştirdiği Miura katlaması, büyük bir yüzeyin tek bir çekişle açılıp kapanmasını sağlar; bu yöntem uzaya gönderilen güneş panellerinde denenmiştir. Ayrıca katlanmış hâlde fırlatılıp uzayda açılan teleskop aynaları ve güneş kalkanları, damarların içinde açılan tıbbi stentler ve otomobillerdeki hava yastıklarının katlanma biçimleri de origaminin matematiğinden yararlanır. Küçük bir alana sığıp büyük bir alana açılmak; bunu en iyi kâğıt katlamacılar bilir.
Etkinlik Soruları ve Cevapları
1. Kare bir kâğıdı önce soldan sağa, sonra aşağıdan yukarı ikiye katlayıp açarsanız kâğıt kaç eş parçaya ayrılır? Her parça ne şekildedir?
Cevap: Kâğıt 4 eş kareye ayrılır. Her karenin kenarı, büyük karenin kenarının yarısıdır, alanı ise dörtte biridir.
2. Kare bir kâğıdın iki köşegeni boyunca katlayıp açarsanız, köşegenlerin kesiştiği noktada kaç tane ve kaç derecelik açılar oluşur?
Cevap: Karenin köşegenleri birbirini dik keser. Kesişim noktasında 4 tane 90°’lik açı oluşur.
3. 0,1 mm kalınlığındaki bir kâğıt 10 kez ikiye katlanabilseydi kalınlığı kaç cm olurdu?
Cevap: 210 = 1024. Kalınlık 1024 × 0,1 mm = 102,4 mm = 10,24 cm olurdu. Yaklaşık bir kalem boyunun yarısı kadar!
Müfredatla Bağlantısı
- 5. Sınıf 1. Tema: Geometrik Şekiller
- 8. Sınıf 1. Ünite: Üslü İfadeler: 2’nin kuvvetleri
- 8. Sınıf 5. Ünite: Üçgenler
- Simetri: Kelebekten Kilim Motiflerine
Bir dahaki sefere elinize bir kâğıt aldığınızda onu yalnızca bir yazı yüzeyi olarak değil, bir geometri laboratuvarı olarak düşünün. Her kat, cetvelsiz çizilmiş kusursuz bir doğrudur.