Selçuklu ve Osmanlı Geometrik Desenleri: Taşa İşlenen Matematik

Konya’daki İnce Minareli Medrese’nin taç kapısına, Sivas’taki Gök Medrese’nin çinilerine ya da Bursa Ulu Camii’nin ahşap minberine dikkatle baktınız mı? Birbirinin içinden geçen yıldızlar, tekrar eden çokgenler, sonsuza kadar devam ediyormuş gibi görünen örgüler… Bu desenlerin her biri aslında birer geometri problemidir ve çoğu yalnızca bir pergel ve bir cetvelle çizilmiştir. Bu yazıda Selçuklu ve Osmanlı ustalarının kullandığı geometriyi adım adım çözüyor, sonunda da sınıfta ya da evde uygulanabilecek bir çizim etkinliği veriyoruz.

Türk-İslam Sanatında Geometrik Süsleme

Türk-İslam sanatında süsleme üç ana kola ayrılır: bitkisel motifler (rumi, hatayi), yazı (hat) ve geometrik desenler. Geometrik süslemede amaç, sınırlı bir alanı düzenli ve dengeli biçimde doldurmak ve izleyende sonsuzluk duygusu uyandırmaktır. Desen, kapının ya da duvarın kenarında kesilse bile ötesinde devam ediyormuş gibi tasarlanır. Bu duygu, matematikteki öteleme, dönme ve yansıma simetrilerinin ustaca kullanılmasıyla ortaya çıkar.

Geometrik desenler taşta, ahşapta, çinide, alçıda, metal kapı tokmaklarında ve hatta kitap ciltlerinde karşımıza çıkar. Malzeme değişse de yöntem aynıdır: Önce bir ızgara ve yardımcı çizgiler kurulur, sonra bu çizgilerin bir kısmı seçilerek asıl desen ortaya çıkarılır, en sonda yardımcı çizgiler silinir.

Her Şey Bir Çemberle Başlar

Geleneksel ustalar bir desene çoğu zaman tek bir çember çizerek başlardı. Çemberi kaç eş parçaya böldüğünüz, desenin karakterini belirler.

Çemberi 6’ya Bölmek

Pergelin açıklığını hiç bozmadan, çemberin üzerindeki bir noktadan başlayarak art arda yay çizerseniz çember tam 6 eş parçaya bölünür. Bunun nedeni, düzgün altıgenin kenar uzunluğunun çemberin yarıçapına eşit olmasıdır: Altıgen, kenarları yarıçapa eşit 6 eşkenar üçgenden oluşur. Bu 6 nokta birer atlanarak birleştirilirse iki eşkenar üçgen, yani 6 köşeli yıldız oluşur.

Çemberi 8’e Bölmek

Birbirine dik iki çap çemberi 4 eş parçaya ayırır. Bu dik açıların açıortayları çizildiğinde çember 8 eş parçaya bölünür; her parçanın merkez açısı 360° : 8 = 45°’dir. Bu 8 nokta birer atlanarak birleştirilirse biri diğerine göre 45° döndürülmüş iki kare elde edilir. İki karenin oluşturduğu şekil, Selçuklu yapılarında çok sık karşılaşılan 8 köşeli yıldızdır.

Çemberi 5’e, 10’a ve 12’ye Bölmek

Çemberi 5 ya da 10 eş parçaya bölmek çok daha zor bir inşadır, ancak 10 köşeli yıldızlarla kurulan desenler en karmaşık ve en etkileyici örnekleri oluşturur. 12’ye bölmek ise 6’ya bölmenin devamıdır: Her 60°’lik yay ikiye bölünerek 30°’lik merkez açılar elde edilir. 12 köşeli yıldızlar özellikle kubbe merkezlerinde ve büyük madalyonlarda kullanılmıştır.

Desenlerin İçindeki Simetri

Bir geometrik desene bakarken üç tür simetri aranabilir. Bu üçü, ortaokul matematiğinin dönüşüm konularıyla doğrudan örtüşür.

• Yansıma simetrisi: Desenin ortasından geçen bir doğruya göre iki yarısı birbirinin ayna görüntüsüdür. 8 köşeli bir yıldızın tam 8 simetri doğrusu vardır: 4’ü köşelerden, 4’ü de köşeler arasındaki girintilerden geçer.
• Dönme simetrisi: Desen merkezi etrafında belirli bir açı kadar döndürüldüğünde kendisiyle çakışır. 8 köşeli yıldız 45°, 90°, 135° … döndürüldüğünde aynı görünür. Tam bir turda (360°) kendisiyle 8 kez çakışır.
• Öteleme simetrisi: Desenin bir birimi (motif) sağa, sola, yukarı ve aşağı kaydırılarak tekrar eder ve bütün yüzeyi kaplar. Duvarlardaki çini panolarda aynı yıldız ve çokgen grubunun düzenli aralıklarla tekrar etmesi bundandır.

Kündekari: Çivisiz ve Tutkalsız Geometri

Selçuklu ve Osmanlı ahşap işçiliğinin en dikkat çekici tekniklerinden biri kündekaridir. Bu teknikte geometrik desenin her bir parçası ayrı ayrı oyulur ve parçalar birbirine geçme yöntemiyle, çivi ya da tutkal kullanılmadan birleştirilir. Minber ve kapı kanatlarında görülen bu yöntemin büyük bir avantajı vardır: Ahşap nemle genleşip kuruyunca büzülür. Parçalar küçük ve birbirinden bağımsız olduğu için bu hareket bütün yüzeye yayılmaz, eser çatlamadan yüzyıllarca dayanır.

Kündekari ustasının her parçayı doğru açıyla kesmesi gerekir. 8 köşeli bir yıldızın çevresindeki parçalar, açıların toplamı her birleşme noktasında tam 360° olacak şekilde tasarlanır. Yani kündekari, uygulamalı bir açı ve çokgen bilgisi ister.

Divriği: Taşa İşlenmiş Bir Geometri Kitabı

Sivas’ın Divriği ilçesindeki Divriği Ulu Camii ve Darüşşifası (1228-1229), 1985 yılında UNESCO Dünya Mirası Listesi’ne Türkiye’den giren ilk eserler arasında yer aldı. Yapının taç kapılarındaki taş süslemeler o kadar derin ve ayrıntılıdır ki taş, adeta dantel gibi işlenmiştir. Bu kapılarda bitkisel motiflerle geometrik örgüler bir arada kullanılmıştır. Bu yüzden yapı, ustaların geometri ve taş işçiliğindeki ustalığının adeta bir sergisi gibidir.

Ustalar Modern Matematiği Önceden mi Buldu?

2007 yılında fizikçiler Peter Lu ve Paul Steinhardt, Science dergisinde yayımlanan çalışmalarında İslam mimarisindeki bazı desenlerin girih adı verilen beş temel şekille kurulduğunu gösterdi. İran’ın İsfahan şehrindeki Derb-i İmam türbesinde (1453) bulunan bir desenin, matematikçilerin ancak 1970’lerde tanımladığı periyodik olmayan döşemelere çok yakın bir yapıya sahip olduğunu ileri sürdüler. Periyodik olmayan döşemede desen hiçbir zaman aynen tekrar etmez. Yani yüzyıllar önceki ustalar, bugün kristal bilimiyle ilişkilendirilen matematiksel yapılara sezgileriyle yaklaşmış olabilirler. (Bu konuyu Escher ve Mozaikler yazımızda daha ayrıntılı anlatıyoruz.)

Sınıfta ya da Evde: 8 Köşeli Yıldız Çizelim

Bu etkinlik 5. sınıftan itibaren uygulanabilir ve 30-40 dakika sürer. Gereken malzemeler: pergel, cetvel, açıölçer (isteğe bağlı), kurşun kalem, silgi ve boya kalemleri.

1. Kâğıdın ortasına yarıçapı 6 cm olan bir çember çizin ve merkezini işaretleyin.
2. Çemberin merkezinden geçen yatay ve dikey iki çap çizin. Çember 4 eş parçaya bölünür.
3. Oluşan dik açıların açıortaylarını çizin. Açıölçerle 45° ölçebilir ya da 7. sınıfta öğrenilen pergelle açıortay inşasını kullanabilirsiniz. Artık çember üzerinde 8 eşit aralıklı nokta var.
4. Noktaları birer atlayarak birleştirin: Önce bir kare, sonra ona göre 45° dönmüş ikinci kare elde edilir.
5. İki karenin oluşturduğu 8 köşeli yıldızın dış çizgilerini koyulaştırın, yardımcı çizgileri silin ve boyayın. Ortada oluşan sekizgeni farklı bir renge boyamak deseni daha belirgin yapar.

Etkinliği genişletmek için: Öğrencilerin çizdiği yıldızları kesip bir panoya yan yana dizin. Yıldızların arasında kalan boşlukların da yeni şekiller (küçük kareler ve haç biçimli parçalar) oluşturduğu görülür. Bu, döşeme fikrine ve kündekari tekniğine güzel bir geçiştir.

Etkinlik Soruları ve Cevapları

1. Çizdiğiniz yıldızın kaç simetri doğrusu vardır?
Cevap: 8. Dördü karşılıklı köşelerden, dördü karşılıklı girintilerden geçer.

2. Yıldız en az kaç derecelik dönmeyle kendisiyle çakışır?
Cevap: 45°. Çünkü 360° : 8 = 45°’dir.

3. Yıldızın uçlarındaki açılar kaç derecedir?
Cevap: 90°. Her uç, karelerden birinin köşesidir.

4. Yıldızın ortasında oluşan sekizgenin bir iç açısı kaç derecedir?
Cevap: Sekizgenin iç açıları toplamı (8 − 2) × 180° = 1080°’dir. Düzgün sekizgen olduğu için bir iç açısı 1080° : 8 = 135°’dir.

5. Çemberi 12 eş parçaya bölerek bir yıldız çizseydiniz merkez açılar kaç derece olurdu?
Cevap: 360° : 12 = 30°.

Müfredatla Bağlantısı

• 5. Sınıf Geometrik Şekiller: çember, çokgenler ve temel çizimler
• 6. Sınıf Geometrik Şekiller: çokgenlerin iç açıları toplamı
• 6. Sınıf Geometrik Nicelikler: merkez açı ve yay
• 7. Sınıf Dönüşüm: yansıma, orta dikme ve açıortay inşası
• 8. Sınıf Dönüşüm Geometrisi: öteleme ve yansıma

Bir dahaki tarihi yapı gezinizde kapılara, pencere şebekelerine ve çinilere bir matematikçi gözüyle bakmayı deneyin: Desenin merkezini, simetri doğrularını ve tekrar eden en küçük parçasını bulmaya çalışın. Taşın ve ahşabın üzerinde yüzyıllardır çözülmeyi bekleyen geometri problemleri sizi bekliyor.